2022-01-12 19:53:59—2022-01-12 19:53:59
Оригинал статьи в quantamagazine
Ватанабэ изобрел новый способ различения форм на пути к решению последней открытой проблеме: гипотезы Смейла, центрального вопроса топологии о симметрии сферы.
В результате прорывной работы математики приблизились к пониманию того, сколько существует способов искривления (выворачивания) простой сферы так, чтобы в конце концов она по-прежнему походила (переходила) на саму себя.
Крупный результат в этом вопросе показал Тадаюки Ватанабэ из Киотского университета. За последние несколько лет он понял, как адаптировать мощную технику для более широкой цели изучения сфер любого количества измерений.
Наиболее знакомые нам сферы — это трехмерные объекты: например, бейсбольные мячи и планеты. У них много очевидных симметрий; вы можете перевернуть или повернуть их, и они все равно будут выглядеть одинаково. В 1959 году математик по имени Стивен Смейл (Stephen Smale) задался вопросом, представляют ли эти базовые симметрии трехмерной сферы все ее симметрии. В последующие десятилетия математики решили гипотезу Смейла как для трехмерной сферы (где таковы, действительно, все симметрии), так и для сфер почти всех измерений (где, вообще говоря, это не все симметрии). Но была одна ситуация, которую они не могли расшифровать: четырехмерная сфера.
Но затем, в конце 2018 года, Ватанабэ решил вопрос и с ними. Он доказал, что четырехмерная сфера имеет семейства симметрий, выходящие далеко за рамки основных. Тем самым он завершил гипотезу Смейла и активизировал поиск этих аберрантных симметрий. Прогресс в этом поиске был достигнут быстро, благодаря вкладам, включая новую статью Ватанабэ в сентябре.
«Когда вы знаете, что гипотеза Смейла неверна, вы не должны останавливаться на достигнутом. Вы должны попытаться выяснить, насколько это далеко от правды», — сказал Александр Куперс (Alexander Kupers) из Университета Торонто в Скарборо.
Математики в области топологии изучают свойства форм, называемых многообразиями, такими как сфера. Они рассматривают жесткие симметрии, такие как повороты и отражения, а также несколько более свободное понятие симметрии, которое охватывает любой способ перестановки точек на многообразии при сохранении некоторых его основных свойств.
Сфера, например, везде гладкая, а это означает, что вычисления можно выполнять в любой точке ее поверхности. Если вы переставите точки так, чтобы сфера, которая у вас получится, оставалась гладкой везде, вы выполнили тип преобразования, который математики называют диффеоморфизмом.
Все повороты и отражения являются диффеоморфизмами сферы, но есть и много других диффеоморфизмов. Например, вы можете оставить большинство точек там, где они есть, и ограничить перестановку небольшой областью сферы. Вот, скажем, вы перемещаете одну точку и растягиваете остальные точки региона. Эта стратегия «сдвига точки» — лишь один из многих примеров диффеоморфизма сферы, который не является жесткой симметрией — ни вращением, ни отражением.
Много лет назад Смейл хотел понять, как диффеоморфизмы сферы соотносятся с жесткой симметрией сферы. Диффеоморфизмов больше, но они качественно другого типа?
КАРТИНКА
Смейл поставил этот вопрос весьма своеобразно. Он сравнил два класса симметрий, предполагая, что все повороты и отражения образуют свое собственное пространство, а все диффеоморфизмы образуют другое пространство, и спросил, насколько первое пространство похоже на второе.
Но что значит превратить симметрии в пространство?
Можно взять каждое вращение или отражение сферы и представить его как точку в пространстве. Повороты и отражения, похожие друг на друга — скажем, поворот на 59 градусов и поворот на 60 градусов — представлены ближайшими точками, а те, которые отличаются друг от друга, представлены более удаленными точками. В итоге вы получите пространство, точки которого индексируют все повороты и отражения сферы.
Вы можете сделать что-то эквивалентное для диффеоморфизмов, например, чем более похожи два диффеоморфизма, тем ближе друг к другу точки, которые их представляют. Вы снова получаете пространство — отличное от первого — точки которого индексируют все диффеоморфизмы сферы.
Пространство, представляющее диффеоморфизмы, будет в некотором смысле больше, потому что диффеоморфизмов больше, чем жестких симметрий. Он также будет содержать пространство, представляющее жесткие симметрии, потому что жесткие симметрии сами по себе являются подмножеством диффеоморфизмов.
Эти два пространства не совсем одинаковы, но Смейл хотел знать, эквивалентны ли они в определенном смысле. Когда два пространства можно деформировать так, чтобы они выглядели похожими друг на друга посредством растяжения и сжатия без разрыва, топологи говорят, что они «гомотопически» эквивалентны. Так, например, одна точка гомотопически эквивалентна диску, потому что вы можете сжать диск до точки или растянуть точку, чтобы заполнить диск.
Именно такой тип сравнения имел в виду Смейл, когда рассматривал, как жесткие симметрии сферы сравниваются с диффеоморфизмами сферы. В частности, он хотел знать, является ли пространство, представляющее жесткие симметрии, гомотопически эквивалентным пространству, представляющему диффеоморфизмы для трехмерной сферы.
Такая формулировка вопроса выхватывает нечто существенное, касающееся отношений между двумя типами преобразований. Если пространство одного может быть деформировано в другое, это указывает на то, что в некотором смысле типы преобразований, которые представляют два пространства, не так уж различны.
«Может быть, проще всего сказать, что единственные известные вам симметрии сферы возникают в результате жестких вращений и отражений», — сказал Оскар Рэндал-Уильямс (Oscar Randal-Williams) из Кембриджского университета.
В своей статье 1959 года Смейл сам доказал, что гипотеза верна для двумерной сферы: да, пространство диффеоморфизмов гомотопически эквивалентно пространству жестких симметрий. Другими словами, в двух измерениях симметрия сферы в значительной степени ограничивается очевидными.
В течение следующего десятилетия математики доказали, что то же утверждение неверно для сфер пяти и более измерений. Затем, в 1983 году, Аллен Хэтчер доказал, что гипотеза верна для трех измерений, разрешив первоначальный вопрос Смейла. При этом последний открытый случай гипотезы Смейла относится к четырехмерной сфере. (По разным техническим причинам в четырыхмерном случае труднее всего разрешимы многие фундаментальные вопросы топологии.)
Для решения этого случая требовалось придумать некий тест, называемый инвариантом, который можно было бы применить к двум рассматриваемым пространствам, чтобы определить, являются ли они гомотопически эквивалентными. Математики использовали инварианты для доказательства гипотезы Смейла в других измерениях, но ни один из этих инвариантов не работал в четырех измерениях.
Часто инварианты предполагают построение какой-либо геометрической конструкции на многообразии. Один из самых основных инвариантов в топологии предполагает разрезание поверхности на однородные треугольные плитки. Затем вы подсчитываете количество граней плитки, добавляете их к количеству вершин (углов, где встречаются плитки) и вычитаете количество ребер плитки. Этот инвариант называется эйлеровой характеристикой поверхности. Если получится 2, вы знаете, что поверхность, с которой вы начали, — это сфера.
Поэтому, когда Ватанабэ подошел к проблеме, он знал, что ему понадобится инвариант нового типа, способный предоставить ему характеристическую информацию о пространствах симметрий четырехмерной сферы. Ему нужен был своего рода тест, позволяющий отличить их друг от друга (или подтвердить, что они одинаковы). К счастью для него, другой математик разрабатывал именно такой инструмент.
В 1990-х Максим Концевич был на пути к тому, чтобы стать одним из самых известных математиков своего поколения. Среди многих интересов он изучал топологические объекты, называемые зацеплениями (links), которые представляют собой запутанные петли — как две замкнутые петли нити, которые наматываются друг на друга.
При наличии зацепления, состоящей из двух петель, возникает основной вопрос: можете ли вы разъединить петли, не протягивая одну через другую и не разрывая ни одну из них? Ответ не всегда очевиден, и тут на помощь приходят инварианты.
"Ваш пример может выглядеть очень сложным, но вы должны найти инвариант, который точно это определит", - говорит Даница Косанович из Швейцарского федерального технологического института Цюриха.
В начале 1800-х годов Карл Фридрих Гаусс придумал инвариант, который позволяет проверить, возможно ли разделение. Чтобы вычислить его, сначала обозначьте ваши две петли как A и B. Теперь вы собираетесь описать все случаи, когда одна петля проходит перед другой, используя эти правила:
Вместо того, чтобы считать эти взаимодействия вручную, Гаусс разработал формулу для их вычисления, основанную на расчетах. Он рассмотрел две точки, каждая из которых должна двигаться по одной из разных петель, как поезда на рельсах. Каждый раз, когда петли пересекаются, добавляется соответствующий +1 или -1.
КАРТИНКА
Сумма называется числом зацепления двух петель. Если оно отлично от нуля, сразу станет ясно, что петли нельзя разорвать. Но если оно равно нулю, мы попадаем в двусмысленную ситуацию: некоторые сцепленные петли с нулевым числом зацепления можно разорвать, а другие нет. Другими словами, инвариант Гаусса не был достаточно мощным, чтобы полностью охарактеризовать, какие связи можно распутать, а какие нет.
В 1990-х Концевич (вдохновленный работами физика Эдварда Виттена) разработал более мощную версию коэффициент зацепления Гаусса. В то время как инвариант Гаусса был основан на взаимодействии между двумя точками, движущимися по петлям в звене, Концевич понял, что может сказать больше о структуре звена, рассматривая взаимодействия между многими точками.
«Если скомбинировать хитрым способом эти числа конфигураций, — получатся инварианты», — сказала Кристин Лескоп(Christine Lescop) из Французского национального центра научных исследований.
Концевич представил данный метод в лекции на Европейском математическом конгрессе 1992 года. Он объяснил, как вычислять сложные интегральные формулы, которые подсчитывают пересечения между множеством точек, движущихся по зацеплениям, добавляя плюс или минус 1 каждый раз, когда происходит конкретное пересечение. Его формула работала как более точный инвариант зацеплений, чем у Гаусса. Отчасти благодаря этой работе Концевич получил в 1998 году самую престижную награду в области математики — Филдсовскую медаль.
В той же лекции, где он представил инвариант Концевича, он предположил, что этот метод должен быть полезен не только для обнаружения свойств одномерных связей в трехмерном пространстве. Он предположил, что при должной изобретательности математик мог бы заставить его служить инвариантом многомерных пространств, включая пространства, лежащие в основе гипотезы Смейла.
Спустя годы Ватанабэ придумал, как заставить его работать.
В 2006 году Ватанабэ успешно переформулировал инвариант Концевича так, чтобы применить его к гипотезе Смейла. Он понял это, сначала повторно доказав тот факт, что гипотеза Смейла неверна для нечетных размерностей 5 и выше. Он также вышел за рамки более ранней работы по этим измерениям, указав конкретные примеры диффеоморфизмов, которые нельзя свести к жестким симметриям.
Его работа позволила осмыслить гипотезу Смейла с другой строны и, возможно, придала ему смелости заняться оставшимся нерешенным измерением. Но не то чтобы он особо задумывался о расширении своей работы на четвертое измерение.
«Меня по глупости удовлетворил нечетномерный результат» — сказал он.
Только в 2013 году во время разговора с математиком Райаном Бадни на конференции в Саппоро, Япония, Ватанабэ начал задумываться о том, можно ли сделать больше. Сначала он не был оптимистичным в этом направлении.
«Существует техническая трудность, чтобы распространить мой предыдущий результат на другие измерения», — сказал он. «Теперь я знаю, что на самом деле это было несложно, но в то время я недостаточно хорошо понимал свое доказательство, чтобы справиться с ним».
Потребовалась еще одна статья в 2017 году, написанная другими математиками (включая Куперса), чтобы начать прощупывать подходы, как Ватанабэ мог бы преодолеть эту задачу. Наконец, 6 декабря 2018 года он опубликовал статью, опровергающую гипотезу Смейла для четырехмерного случая, тем самым завершив последний случай, где еще не было доказанного результата. Результат поразил математиков, которые не привыкли к тому, что методы, работающие в более высоких измерениях, хорошо адаптируются к четвертому измерению.
«У него есть метод работы со сферами любого измерения. Что удивительно, так это то, что он не дает сбоев в четвертом измерении», — сказал Рэндал-Уильямс.
В своей первоначальной форме инвариант Концевича отражал степень связности зацепления. Замечательное открытие Ватанабе заключалось в том, что этот же тип инварианта можно использовать для того, чтобы сказать что-то о сложности пространства диффеоморфизмов четырехмерной сферы.
in progress
Все записи